Angle de champ

[Philippe Leroy]

Encore une fois, je n'ai pas trop le temps de développer, mais là où tu places ta flèche c'est trop haut par rapport au point de vue de l'image originale, qui est bien désaxée par ailleurs.

Ok, je laisse tomber 

Je passe la main...

[balfly]

Bon, je me lance, j'ai une solution à proposer. En admettant que le transept de la cathédrale est à base carrée (ce qui est caractéristique des cathédrales classiques) on obtient facilement la valeur de la distance focale f de l'objectif de prise de vue (en 24mmx36mm).
Sur l'image j'appelle x1 la distance horizontale en pixels entre les piliers avant du transept et x2 celle entre les piliers arrière (x2 < x1). Par un petit calcul, que je peux détailler, mais comme c'est ma première intervention sur un forum je ne veux pas être trop ambitieux, j'arrive à :
f (1/x2 - 1/x1) = 1
je mesure sur la photo x1 = 137 pixels et x2 = 110 pixels j'en déduis f en pixels.
Pour ramener cette valeur à une distance focale en 24x36 je pose que les 728 pixels de largeur de la photo correspondent à 36 mm (règle de trois) d'où finalement :
f = x1. x2 / (x1-x2) * 36mm/728 = 27,6 mm
La mesure est ici peu précise, en admettant que chaque point est repéré avec une précision de +- 1 pixel j'arrive à une précision de l'ordre de +-10% d'où :
25 mm < f < 30 mm.
Je propose comme valeur la plus probable  28 mm.
La photo est légèrement en biais mais cela a un effet négligeable ici.
On peut ensuite en déduire facilement l'angle de champ qui correspond à la question posée.

[Jean-Claude]

Pour les paysages il y a une App. qui sait faire : "Photo Transit" couplable avec "TPE"

Pour des intérieurs il faut connaître les dimensions du lieu

[Franciscus Corvinus]

Sur l'image j'appelle x1 la distance horizontale en pixels entre les piliers avant du transept et x2 celle entre les piliers arrière (x2 < x1). Par un petit calcul, que je peux détailler, mais comme c'est ma première intervention sur un forum je ne veux pas être trop ambitieux, j'arrive à :
f (1/x2 - 1/x1) = 1

Bienvenue a toi. Si tu peux développer un peu (les étapes, pas les détails), ca m'intéresse. Peut-etre meme qu'avec un peu de chance je pourrai dormir cette nuit. 

[Jean-Etienne V]

Bon, je me lance, j'ai une solution à proposer. En admettant que le transept de la cathédrale est à base carrée (ce qui est caractéristique des cathédrales classiques) on obtient facilement la valeur de la distance focale f de l'objectif de prise de vue (en 24mmx36mm).
Sur l'image j'appelle x1 la distance horizontale en pixels entre les piliers avant du transept et x2 celle entre les piliers arrière (x2 < x1). Par un petit calcul, que je peux détailler, mais comme c'est ma première intervention sur un forum je ne veux pas être trop ambitieux, j'arrive à :
f (1/x2 - 1/x1) = 1
je mesure sur la photo x1 = 137 pixels et x2 = 110 pixels j'en déduis f en pixels.
Pour ramener cette valeur à une distance focale en 24x36 je pose que les 728 pixels de largeur de la photo correspondent à 36 mm (règle de trois) d'où finalement :
f = x1. x2 / (x1-x2) * 36mm/728 = 27,6 mm
La mesure est ici peu précise, en admettant que chaque point est repéré avec une précision de +- 1 pixel j'arrive à une précision de l'ordre de +-10% d'où :
25 mm < f < 30 mm.
Je propose comme valeur la plus probable  28 mm.
La photo est légèrement en biais mais cela a un effet négligeable ici.
On peut ensuite en déduire facilement l'angle de champ qui correspond à la question posée.

Imagine que tu changes la position de l'appareil de prise de vue.
Au fur et à mesure que tu monteras et avanceras, en suivant une trajectoire circulaire centrée sur ce fameux carré, tes valeurs de distance X1 et X2 tendront à se rapprocher l'une de l'autre, jusqu'à être égales lorsque tu atteindras la verticale de ce point.
Et pourtant, la distance focale de l'objectif n'aura pas changé...

De plus, les valeurs relevées (137 et 110 pixels) (en rouge sur le plan) ne correspondent pas au carré (en vert), puisque prises entre les piliers et non à partir de leurs centres.

[fred134]

Balfy, ton idée d'utilisation du carré central est excellente.
Moi je mesure plutôt 122 et 107 pixels, ce qui donne une focale de 43mm (image de 728 de large). Ce qui est plus cohérent avec nos analyses précédentes.

NB : pour tenir compte de l'angle vertical sous lequel le carré est observé, il faudrait écrire
f.(1/x2 - 1/x1) = (distance_bord_proche_carré - distance_bord_eloigné) / largeur_carré

Ce qui donnerait une focale légèrement inférieure.

[pichta84]

Avec un plan, c'est beaucoup plus facile, s'il était coté, ce serait Byzance.
Mais ce n'est pas utile. La solution est relativement simple, mais compte tenu de la dimension de l'image, comme cela a été déjà démontré, les calculs ne peuvent être fait, au mieux, qu'avec des distances mesurées au pixel près donc relativement imprécises.
Comment estimer l'angle de prise de vue? :
J'ai dessiné une prise de vue avec un angle plus large en bleu.
L'image de la cathédrale, est celle donnée par la projection sur le plan en vert.
Le rapport des longueurs C et P sur l'image sera très différent selon qu'on est placé en A ou en B.
De même le rapport le largeur de 2 arches (D et E) successives sera très différents si si on est en A ou en B (c'est d'ailleurs comme cela qu'on détermine à vue de nez ou avec précision si on a affaire à un grand angle ou à un télé).
Dernière possibilité : le vitrail du fond, est à une distance égale environ à 9 fois son diamètre. Si l'angle de champ est large, le diamètre du vitrail sur l'image sera beaucoup plus petit comparé à sa distance (mesurée sur l'image) que si l'angle de champ est étroit.

Je n'ai pas posé les équations définitives pour les résoudre, parce que mes premières recherches ont abouti à une impasse. Cependant, il serait possible de faire le calcul par approximation successives. Pour avoir une bonne précision, il serait nécessaire d'utiliser une image de plus grande définition.
Je n'utilise que des objectifs fixes, j'ai donc une bonne habitude de la restitution des perspectives, à vue de nez, je reste sur ma position, l'angle est surement 45° environ.

[Jean-Etienne V]

Balfy, ton idée d'utilisation du carré central est excellente.
Moi je mesure plutôt 122 et 107 pixels, ce qui donne une focale de 43mm (image de 728 de large). Ce qui est plus cohérent avec nos analyses précédentes.

NB : pour tenir compte de l'angle vertical sous lequel le carré est observé, il faudrait écrire
f.(1/x2 - 1/x1) = (distance_bord_proche_carré - distance_bord_eloigné) / largeur_carré

Ce qui donnerait une focale légèrement inférieure.

Sans être opticien, j'ai un très gros doute sur cette méthode.

Ne prendre en compte qu'une petite portion d'une image pour déterminer l'angle de champ revient à utiliser un crop.
Alors voilà 2 crops de 2 images d'un même carré de 18*18 cm, imprimé sur une feuille A4.

Cette méthode permet-elle toujours de déterminer les focales utilisées ?

[fred134]

Sans être opticien, j'ai un très gros doute sur cette méthode.
Ne prendre en compte qu'une petite portion d'une image pour déterminer l'angle de champ revient à utiliser un crop.
Alors voilà 2 crops de 2 images d'un même carré de 18*18 cm, imprimé sur une feuille A4.
Cette méthode permet-elle toujours de déterminer les focales utilisées ?

Non, la méthode est correcte et simplement basée sur x1/x2=d2/d1 (distances respectives des plans objet de deux segments identiques parallèles au capteur, et tailles de leur projection sur l'image).

Le méthode emploie la largeur de l'image entière pour déterminer la focale, ce que le crop ne permet pas.

[fred134]

Avec un plan, c'est beaucoup plus facile, s'il était coté, ce serait Byzance.
Mais ce n'est pas utile. La solution est relativement simple,
...

Sans plan, tu ne connais pas les proportions, et donc tu ne peux rien déduire des distances c d e p.
Le distance entre les arches, par exemple, apparaîtrait la même depuis le point de vue rapproché (donc au grand-angle), si les piliers étaient moins espacés.
Sauf erreur de ma part, bien entendu :-)

[Jean-Etienne V]

Non, la méthode est correcte et simplement basée sur x1/x2=d2/d1 (distances respectives des plans objet de deux segments identiques parallèles au capteur, et tailles de leur projection sur l'image).

Le méthode emploie la largeur de l'image entière pour déterminer la focale, ce que le crop ne permet pas.

Vu sous cet ... angle... 
Il semble que j'avais un peu trop survolé la démonstration...   

[fred134]

NB : pour tenir compte de l'angle vertical sous lequel le carré est observé, il faudrait écrire
f.(1/x2 - 1/x1) = (distance_bord_proche_carré - distance_bord_eloigné) / largeur_carré

Dans la mesure où l'appareil est horizontal, ce que j'ai écrit est évidemment une grosse bêtise. Ne jamais poster après le coup de rouge du dîner :-)
Il n'y a aucune correction à apporter à la formule.

[balfly]

Je suis content de voir que ma 1ère participation à ce (un) forum apporte des réactions intéressantes,
et je remercie Seba d'avoir ouvert ce sujet (ainsi que bien d'autres).
Pour répondre j'ai fait un schéma et donné des explications sur un JPG,
je n'ai vu qu'après que je pouvais mettre directement un pdf.
J'espère que l'image va passer...
mais comme je charge directement à partir de mon ordinateur ("options supplémentaires"),
la prévisualisation ne fonctionne visiblement pas,
donc j'ai un gros doute !

[pichta84]

Sans plan, tu ne connais pas les proportions, et donc tu ne peux rien déduire des distances c d e p.
Le distance entre les arches, par exemple, apparaîtrait la même depuis le point de vue rapproché (donc au grand-angle), si les piliers étaient moins espacés.
Sauf erreur de ma part, bien entendu :-)

Bien évidemment.
Mais alors, la méthode basée sur la supposition que nous avons affaire à un carré est donc hypothétique aussi.
Restons sérieux : connaissez-vous beaucoup de cathédrales dont les arches ont des dimensions aléatoires ou différentes?
La solution à se genre de problème n'est évidemment envisageable que si on suppose que l'architecture présente des particularités. 

Même un plan pris au hasard peut donner des indications car beaucoup de cathédrales sont construites sur des modèles qui ont des caractéristiques communes.

[Franciscus Corvinus]

Je suis content de voir que ma 1ère participation à ce (un) forum apporte des réactions intéressantes,
et je remercie Seba d'avoir ouvert ce sujet (ainsi que bien d'autres).
Pour répondre j'ai fait un schéma et donné des explications sur un JPG,
je n'ai vu qu'après que je pouvais mettre directement un pdf.
J'espère que l'image va passer...
mais comme je charge directement à partir de mon ordinateur ("options supplémentaires"),
la prévisualisation ne fonctionne visiblement pas,
donc j'ai un gros doute !

Merci balfly. Je me demande si on peut arriver au résultat sans faire l'hypothese sur le transept, mais simplement avec l'hypothese (probablement pas completement juste) que les piliers sont équidistants.

[fred134]

Restons sérieux : connaissez-vous beaucoup de cathédrales dont les arches ont des dimensions aléatoires ou différentes?
La solution à se genre de problème n'est évidemment envisageable que si on suppose que l'architecture présente des particularités. 

Je croyais que les arches étaient plus ou moins pointues selon les cathédrales ? Dans le cas contraire ce serait bien sûr aussi un élément utilisable. Comme le carré au centre de la croix formée par le transept.

Merci balfly. Je me demande si on peut arriver au résultat sans faire l'hypothese sur le transept, mais simplement avec l'hypothese (probablement pas completement juste) que les piliers sont équidistants.

Je crois que non (cf. l'exemple dans mon échange avec pichta84).

[seba]

Merci de vos interventions, je rentre juste de vacances.
Il faut que je lise ça à tête reposée.
L'idée étant de trouver l'angle de champ sans s'aider de la vue en plan, uniquement avec la photo, d'après la perspective, sans connaître aucun élément supplémentaire. S'il y a une méthode permettant de le retrouver.

[balfly]

Bonsoir
Je reviens sur la méthode de mesure que j'ai proposée, et suivant la remarque de Jean-Etienne V que j'ai balayée trop vite, la mesure de distance entre les piliers devrait se faire (à priori) entre les centres des piliers, alors que j'avais fait ces mesures entre les faces en regard des piliers. Au départ je n'avais pas pensé à cet aspect. En utilisant le plan donné par Pichta84 et pour autant qu'on puisse s'y fier pour cet aspect des choses, je trouve que la correction sur la mesure de x donc de  f est un peu supérieure à 20%, ce qui n'est pas négligeable.
Afin de ne pas utiliser ce plan, je suis revenu sur la photo de l'église que nous a envoyée SEBA et j'ai tenté de repérer les milieux des piliers, c'est assez grossier, serait probablement plus facile avec une image haute résolution, mais c'est une limitation à la méthode  . 
J'ai alors obtenu f = 34 mm +- 10%, je propose donc 35 mm comme valeur la plus probable.
Peut-être existe-t-il une méthode, basée sur la perspective, qui permette de repérer de manière satisfaisante le milieu des piliers sur cette photo ? Pas sûr !

[Franciscus Corvinus]

S'il y a une méthode permettant de le retrouver.

Ce que je trouve triplement frustrant c'est d'une part que soit il est possible de trouver la focale mais je n'y arrive pas, soit on doit pouvoir démontrer que c'est impossible (mon hypothese)... mais je n'y arrive pas.

La troisieme frustration vient du fait qu'on voit bien "a l'oeil" que c'est en gros l'angle de champ d'un 35 en 24x36. Donc si on le voit, pourquoi ne puis-je pas le calculer? Je me sens plus con que mon cortex visuel, c'est pas flatteur! 

[dio]

L'idée étant de trouver l'angle de champ sans s'aider de la vue en plan, uniquement avec la photo, d'après la perspective, sans connaître aucun élément supplémentaire. S'il y a une méthode permettant de le retrouver.

Oui, il y a !

[at] gerarto a une méthode graphique, qui fonctionne.
[at] Balfly en a une méthode analytique, mais la croisée du transept doit être de plan carré.

Puisque la perspective (l'écrasement des plans (*)) est fonction de la focale, alors inversement la focale peut être déduite de la mesure de cet écrasement.

Yapluska généraliser en tenant compte que les colonnes sont à égales distances les unes des autres.  Là, les visées ne forment plus ni  triangles rectangles, ni triangles semblables.  Il faut passer par la trigonométrie, les propriétés des triangles quelconques.

Je ramasse les copies la semaine prochaine.

[balfly]

Ce que je trouve triplement frustrant c'est d'une part que soit il est possible de trouver la focale mais je n'y arrive pas, soit on doit pouvoir démontrer que c'est impossible (mon hypothese)... mais je n'y arrive pas.

Citation de Franciscus Corvinus (pour l'instant je ne contrôle pas bien les citations !)

Je propose une démonstration.
Je dessine un trièdre Oxyz avec x vers la droite, y vers le haut et z vers moi (ou vous), plus précisément z est dessiné oblique vers la gauche et le bas (représentation cavalière). Je dessine l'objet du côté des z < 0, soit M(x, y, z) un des ses points. Je dessine la lentille de centre optique O et d'axe optique z (c'est un disque de centre O), je place son foyer image F' (OF'= f) sur l'axe z du côté z > 0, et je dessine son plan focal image (il est perpendiculaire à x et passe par F'). Soit M'(x', y', z' = f) l'image de M (je néglige le "tirage" de l'objectif).
En posant que les points M, O, M' sont alignés donc les vecteurs OM et OM' colinéaires on obtient :
x'/x = y'/y = f/z d'où :
x' = x f/z et y' = y f/z qui sont les formules utiles
on remarque que le "coefficient" qui permet de passer de x, y à x', y' est le même pour x et y.

C'est maintenant que le raisonnement commence, 
- on fait une 1ère photo avec l'objectif de distance focale f et on obtient une image de l'objet (ensemble de points M) vu du point O.
- pour faire une 2ème photo on choisit un objectif de distance focale 2f, mais simultanément on fait subir à l'objet une transformation qui l'étire suivant z d'un facteur 2 (affinité d'axe z d'origine z = 0) à partir du plan Oxy. Il s'agit d'une opération intellectuelle qui change la forme de l'objet dans une seule direction. Dans ces conditions le rapport f/z qui devient 2f/2z est inchangé, donc comme x et y ne changent pas non plus, x' et y' sont inchangés.
Ce raisonnement est valable pour tous les points de l'objet donc tous les points de l'image.
Par conséquent sur les 2 photos l'image est identique.
Ceci montre que si on ne connait pas à priori la forme de l'objet on ne peut pas trouver par l'image la distance focale f car tous les choix possible de x/z (pour un point donné de l'objet) donneront une valeur de f différente.
Par exemple si on admet que la largeur de la nef de la cathédrale est 10 m et que sa longueur est 40 m on trouve f = 25 mm, mais si on suppose que la largeur valant toujours 10 m, la longueur vaut 80 m, alors on trouvera f = 50 mm.
Pour pouvoir attribuer la bonne valeur à f, il faut connaître à priori les proportions de l'objet, ce qui n'est pas le cas de la cathédrale (sauf si on "triche" avec la plan donné par Philippe Leroy ).
J'ai pu m'en tirer en choisissant dans la cathédrale une partie qui peut être connue avec peu de chances de se tromper.

Attention, ce raisonnement démontre qu'il est impossible de trouver f sur une photo si on ne connait pas les proportions de l'objet ou d'une de ses composantes.
Mais cela ne veut pas dire que si on connait les proportions de l'objet photographié on trouvera f à coup sûr. Par exemple :
- si l'objet est un cube dont une des faces est perpendiculaire à l'axe optique (c'est à peu près le cas que j'ai utilisé pour la cathédrale) on trouve f facilement
mais si le cube est tourné de 45° autour d'un axe vertical, avec alors un des ses cotés verticaux face à l'objectif, l'affaire se complique
- si l'objet est une sphère lisse seule dans l'espace, je pense pouvoir affirmer qu'il est impossible de trouver f à partir de sa photo, alors que l'on connait ses proportions,
si cet objet devient un ballon de football constitué avec des pièces de cuir apparentes, c'est peut-être possible
- et si l'objet est un disque circulaire horizontal vu sur l'image comme une ellipse ?

[Franciscus Corvinus]

Oui je suis d'accord, mais la situation est plus compliquée. On a une répétition de piliers a une distance réguliere. La croissance de leur distance sur l'axe horizontal, du centre vers les bords, suit une progression qui a une forme bien spécifique (tangente d'une suite harmonique si je ne me trompe pas) et tend vers l'inifini a la hauteur du photographe. Peut-on (1) tracer une courbe théorique de ces distances en fonction du nombre de pilier qui séparent du photographe; (2) calquer ce que l'on mesure sur cette courbe? La spécificité de la forme de la courbe permettrait-elle de "calibrer le 90 degrés" et donc d'en déduire l'angle de champ? Je ne peux pas le faire, mais ca ne veut pas dire que j'ai prouvé que personne ne le peut.

[fred134]

Oui je suis d'accord, mais la situation est plus compliquée. On a une répétition de piliers a une distance réguliere. La croissance de leur distance sur l'axe horizontal, du centre vers les bords, suit une progression qui a une forme bien spécifique (tangente d'une suite harmonique si je ne me trompe pas) et tend vers l'inifini a la hauteur du photographe. Peut-on (1) tracer une courbe théorique de ces distances en fonction du nombre de pilier qui séparent du photographe; (2) calquer ce que l'on mesure sur cette courbe? La spécificité de la forme de la courbe permettrait-elle de "calibrer le 90 degrés" et donc d'en déduire l'angle de champ? Je ne peux pas le faire, mais ca ne veut pas dire que j'ai prouvé que personne ne le peut.

Non, je suis d'accord avec Balfy, et j'avais déjà donné un contre-exemple plus haut. Il y a selon moi une infinité de solutions avec des piliers réguliers pour la même image.
Si tu recules ton point de vue, choisis un angle de champ moins large, et écartes les piliers, tu auras le même espacement sur l'image. Ex :
Photo 1 : piliers espacés de 1m, photo prise depuis 4m en arrière du premier pilier visible sur le bord (peu importe l'écartement latéral du point de vue par rapport aux piliers, du moment qu'il n'est pas nul, le contre-exemple vaut dans tous les cas)
Photo 2 : on garde le pilier qui était sur le bord, mais on espace tous les autres de 4m (au lieu de 1), on recule de 12m et on change la focale pour avoir le même pilier que précédemment sur le bord (on est donc maintenant 16m en arrière du premier pilier visible sur le bord)
=> les deux photos sont superposables. (en largeur, hein, il faudrait en plus étirer les piliers en hauteur, mais peu importe puisqu'on ne connait pas les proportions)

L'espacement apparent des piliers sur l'image est une fonction inverse de leur distance (distance de leur plan objet, pour être précis, pas la distance en diagonale). Dans le premier cas, la position des piliers sur l'image (en % centre-bord) est 4/(4+n). Le pilier du bord portant le numéro 0. Dans le deuxième cas, c'est 16/(16+4n).

Je comptais éviter de tels détails scabreux, mais la discussion y a mené :-)

Pour tes remarques sur le cortex, justement il y a toutes sortes de trompe-l'œil...

[Franciscus Corvinus]

Tu as bien raison pour le cortex et c'est justement parce qu'il est si facile a tromper que je me sens humilié d'etre plus bete que lui.    

Pour ton argument, il ne marche pas. Les images ne sont pas superposables car les rapports entre les écartement des différents piliers ne se suivent pas. Tu peux faire coincider deux piliers, mais pas toute la suite.

Si tu prends le cas particulier d'un objectif qui voit sur 180 degrés avec une projection plane (pas cylindrique), en photographiant a hauteur d'un pilier (hypothese du pilier infiniment fin pour les besoins de la cause) il faudrait bien sur un négatif infiniment grand pour enregistrer le premier pilier (et c'est tout-a-fait possible dans un monde ou les cathédrales reposent sur des piliers inifiniment fins ). Et bien entendu le rapport de pixels entre ce pilier et l'axe, et entre le pilier suivant et l'axe est zéro. Alors que le rapport de pixels entre le deuxieme et le troisieme est fini.

A l'inverse, si tu prends un 2700mm avec tripleur de focale, tu vas trouver que le rapport d'écartement des deux premier piliers par rapport a l'axe est proche de un.

Je ne sais pas si c'est clair sans dessin ni formule.  

[dio]

La croissance de leur distance sur l'axe horizontal, du centre vers les bords, suit une progression qui a une forme bien spécifique (tangente d'une suite harmonique si je ne me trompe pas)

Quelque chose comme ça, oui.  La solution passe par là.