Calcul amusant notamment pour les astronomes

[Nikojorj]

... et j'ajouterais, le volume n'intervient à aucun moment.

Sur la quantité d'énergie produite, quand même?

[seba]

Je sens que la loi de Stefan-Bolzmann est une bonne piste. Elle stipule que la puissance émise par un corps noir par unité de surface (son émittance P) est proportionnelle à la puissance quatrième de sa température :
P = sigma * T^4

Oui mais je pense que T est la différence de température entre le corps chaud et le corps froid.

[seba]

... et j'ajouterais, le volume n'intervient à aucun moment. Il intervient éventuellement en phase de montée en température si l'on suppose un instant initial où il n'y a aucune énergie produite. Là intervient la chaleur massique du matériau, qui conditionne la vitesse de montée en température du corps du matériau. Puis le corps rayonne cette énergie par sa surface, atteint un état d'équilibre et sa température est stabilisée.
Qu'en pensez-vous ?

A mon avis, un corps chaud d'un certain volume sera plus froid vers la surface (sinon pas de transfert de chaleur vers la surface).

[Oleg]

Sur la quantité d'énergie produite, quand même?

Oui bien sûr, je voulais dire par là que le volume n'intervient pas dans l'équation, pour un corps à l'équilibre thermique.

[Oleg]

Oui mais je pense que T est la différence de température entre le corps chaud et le corps froid.

Selon la définition, T est la température absolue à la surface du corps, il n'est rien dit de plus

[Oleg]

A mon avis, un corps chaud d'un certain volume sera plus froid vers la surface (sinon pas de transfert de chaleur vers la surface).

Oui, c'est probable, mais on n'a pas besoin de savoir comment les échanges se passent à l'intérieur du corps. Evidemment, si on empêche cette énergie d'être convoyée vers la surface, le corps en question va exploser !
J'imagine que si on veut s'intéresser aux échanges thermiques au sein du soleil, par convection, rayonnement, conduction... on n'a pas fini. Il faut le considérer comme une sphère de surface S, à l'intérieur de laquelle une puissance P est produite et qui est rayonnée. Parmi les centaines de textes sur cette loi, on lit par exemple (https://www.techno-science.net/definition/5186.html) que Bolzmann s'est servi de sa formule pour calculer la température de la surface du soleil. Il a trouvé 5709 K (la valeur actuellement admise est 5780 K). Respect !

Bon en tous cas je n'ai rien de mieux à proposer. Ah si : un peu de philo pour ce week-end, une pensée de Gaston Bachelard que je m'applique tout le temps : « La pensée scientifique moderne réclame qu'on résiste à la première réflexion. C'est donc tout l'usage du cerveau qui est mis en question. Désormais le cerveau n'est plus absolument l'instrument adéquat de la pensée scientifique, autant dire que le cerveau est l'obstacle à la pensée scientifique. Il faut penser contre le cerveau ».

[seba]

Selon la définition, T est la température absolue à la surface du corps, il n'est rien dit de plus

Oui mais comme un corps chaud (même s'il est à 10000°C) ne peut pas rayonner vers un corps encore plus chaud, j'en déduis qu'il s'agit de la différence de température.
Déduction qui demande à être confirmée.

D'un autre côté, comment se fait-il qu'on voie des objets plus froids que l'oeil ? Car à première vue, ils ne devraient pas envoyer de radiations vers l'oeil. Encore un mystère à résoudre.

[Oleg]

Oui mais comme un corps chaud (même s'il est à 10000°C) ne peut pas rayonner vers un corps encore plus chaud, j'en déduis qu'il s'agit de la différence de température.
Déduction qui demande à être confirmée.

D'un autre côté, comment se fait-il qu'on voie des objets plus froids que l'oeil ? Car à première vue, ils ne devraient pas envoyer de radiations vers l'oeil. Encore un mystère à résoudre.

Cette loi ne définit pas le sens du rayonnement ni l'interdit selon les différences de température. Toujours d'après ce que je crois savoir (?!), tout corps rayonne (aucun n'étant à 0 K), et la distribution des longueurs d'onde dépend de cette température. Les objets plus froids que l'oeil rayonnent quand même des infra-rouges (je n'évoque pas ce qui les éclaire éventuellement, bien sûr), on peut ainsi les détecter. Le "rayonnement fossile" du big bang baigne tout l'univers, est détectable et correspond à une température de 3 K. Etc. Tout cela est peu intuitif j'en conviens, ta question initiale est intéressante mais je pense qu'il importe de se documenter plus avant (valable pour moi aussi, mais là je suis sec).

[Nikojorj]

Parmi les centaines de textes sur cette loi, on lit par exemple (https://www.techno-science.net/definition/5186.html) que Bolzmann s'est servi de sa formule pour calculer la température de la surface du soleil. Il a trouvé 5709 K (la valeur actuellement admise est 5780 K). Respect !

Dans le même thème sur un autre sujet (assez voire très voisin quand même) :

Oui mais comme un corps chaud (même s'il est à 10000°C) ne peut pas rayonner vers un corps encore plus chaud,

C'est pas qu'il ne rayonne pas, c'est que le bilan net des rayonnements va dans l'autre sens.

[seba]

C'est pas qu'il ne rayonne pas, c'est que le bilan net des rayonnements va dans l'autre sens.

Oui c'est plus logique.
Et donc pour la loi de Stefan-Boltzmann, c'est bien T en valeur absolue.

[Col Hanzaplast]

Il faut penser contre le cerveau.

Inventer, c'est penser de travers.
AE

[egtegt²]

A mon avis, un corps chaud d'un certain volume sera plus froid vers la surface (sinon pas de transfert de chaleur vers la surface).

Pas nécessairement, le courant électrique par exemple se propage essentiellement à la périphérie du conducteur, je ne parierais donc pas sur le fait que le filament est plus chaud au coeur qu'en surface. C'est toujours une question d'équilibre.

Oui mais comme un corps chaud (même s'il est à 10000°C) ne peut pas rayonner vers un corps encore plus chaud, j'en déduis qu'il s'agit de la différence de température.
Déduction qui demande à être confirmée.

D'un autre côté, comment se fait-il qu'on voie des objets plus froids que l'oeil ? Car à première vue, ils ne devraient pas envoyer de radiations vers l'oeil. Encore un mystère à résoudre.

Là tu confonds rayonnement et réflexion. Un objet au zéro absolu n'est pas nécessairement d'un noir absolu pour la bonne raison qu'il peut réfléchir de la lumière sans pour autant l'absorber.

[Oleg]

Pas nécessairement, le courant électrique par exemple se propage essentiellement à la périphérie du conducteur, je ne parierais donc pas sur le fait que le filament est plus chaud au coeur qu'en surface. C'est toujours une question d'équilibre.

Le gradient de température dans un corps qui dissipe son énergie via sa surface doit être coton à calculer. S'il est solide, c'est sa conductivité thermique qu'il faut prendre en compte. S'il est liquide ou gazeux, on intègre la convection. S'il est transparent, c'est le rayonnement qu'il faut prendre en compte... Mais AMHA l'effet de peau n'apparaît qu'avec des courants de haute fréquence. Donc ça ne va pas jouer car l'effet Joule s'exerce dans toute la masse du filament, à 50 Hz il n'y aura pas d'effet de peau.
Notre filament sera à l'équilibre tant qu'il parvient à évacuer la puissance qu'il reçoit. L'ampoule brille continûment. Si on lui applique une intensité de plus en plus grande, elle va briller de plus en plus blanc, son spectre d'émission va se décaler vers le bleu à mesure que sa température augmente (en T^4, ça augmente très vite) puis le filament va fondre puis se vaporiser quand la température permettant d'évacuer toute cette énergie sera trop grande.

Dans le cas du soleil, où tout est gazeux ou sous forme de plasma, où ça bouge de partout, où les réactions de fusion se produisent dans les zones centrales, ça doit être hyper compliqué à calculer, il y a des échanges dans tous les sens y compris par convection. Là perso je ne parie rien non plus  Une étoile peut aussi quitter sa zone d'équilibre, devenir une super nova par exemple ou autre joyeuseté.

[seba]

Dans le cas du soleil, où tout est gazeux ou sous forme de plasma, où ça bouge de partout, où les réactions de fusion se produisent dans les zones centrales, ça doit être hyper compliqué à calculer, il y a des échanges dans tous les sens y compris par convection. Là perso je ne parie rien non plus  Une étoile peut aussi quitter sa zone d'équilibre, devenir une super nova par exemple ou autre joyeuseté.

D'après les modèles, la couche externe est convective, la couche intermédiaire est radiative, et le noyau je ne sais pas.

[restoc]

Un objet au zéro absolu n'est pas nécessairement d'un noir absolu pour la bonne raison qu'il peut réfléchir de la lumière sans pour autant l'absorber.

On dirait la définition d'un homme politique ( au choix !) 

[Oleg]

D'après les modèles, la couche externe est convective, la couche intermédiaire est radiative, et le noyau je ne sais pas.

Oui, sans compter qu'un plasma c'est hyper instable, il paraît que c'est une des raisons pour lesquelles il est si difficile de construire un réacteur à fusion. Confiner un plasma, on a beau utiliser plein d'astuces, de temps en temps le plasma va devenir instable.

[...] à mesure que sa température augmente (en T^4, ça augmente très vite)

Damned, je dois m'auto-corriger ! En fait la température T varie comme P ^ 1/4 où P est la puissance à dissiper, donc pas vite du tout, au contraire... Ce qui ne change rien au reste des raisonnements et qui ne répond guère à la question de la répartition de la température dans un corps solide radiant. Il faudrait invoquer la loi de Fourier...

On s'amuse bien, mais où est la photographie dans tout cela 
Alors, inventons une question subsidiaire : déterminer quel filtre correcteur utiliser avec une lampe à incandescence initialement donnée 3000 K, qui éclaire la scène photographiée, mais qui est sous-voltée de 30 % ?
Vous avez deux heures.
NB C'est pour rire 

[seba]

On s'amuse bien, mais où est la photographie dans tout cela 
Alors, inventons une question subsidiaire : déterminer quel filtre correcteur utiliser avec une lampe à incandescence initialement donnée 3000 K, qui éclaire la scène photographiée, mais qui est sous-voltée de 30 % ?
Vous avez deux heures.
NB C'est pour rire 

Pour ça j'ai fait (copié plutôt) cet abaque.

[Oleg]

Pour ça j'ai fait (copié plutôt) cet abaque.

J'avais vu c'est bien pourquoi j'ai imaginé cette question.
Donc la lampe à 3000 K est sous-voltée de 30 %... c'est à dire qu'au lieu de 220 V elle ne reçoit plus que 154 V
=> calculer sa nouvelle température !
Hint : Stefan-Bolzmann
...allez, allez !

[Oleg]

J'oubliais de préciser : on suppose que sa résistance est constante (en pratique ce n'est pas toujours vrai)

[seba]

Je dirais on calcule de la manière suivante :
On calcule I d'après P = UI
On calcule R d'après P = RI²
On calcule P = U²/R
Je trouve P = 26 watts (pour 154 volts)

Et ensuite si la température varie comme P^1/4 et si le filament fait 3000 K pour 53 watts, je trouve 2500 K pour 26 watts.

[Oleg]

Et ensuite si la température varie comme P^1/4 et si le filament fait 3000 K pour 53 watts, je trouve 2500 K pour 26 watts.

C'est ça, je trouve 2510 K

[egtegt²]

Je dirais on calcule de la manière suivante :
On calcule I d'après P = UI
On calcule R d'après P = RI²
On calcule P = U²/R
Je trouve P = 26 watts (pour 154 volts)

Et ensuite si la température varie comme P^1/4 et si le filament fait 3000 K pour 53 watts, je trouve 2500 K pour 26 watts.

En fait j'ai du mal à voir comment la température pourrait ne dépendre que de la puissance, pour moi la formule devrait comprendre au minimum la surface d'échange avec l'extérieur.

Sinon ton calcul est un peu alambiqué, ta dernière formule est suffisante : P2=P1xU2²/U1²  (avec U1=230 et U2=154) Pas besoin de passer par le calcul de la résistance ou de l'intensité.

[seba]

En fait j'ai du mal à voir comment la température pourrait ne dépendre que de la puissance, pour moi la formule devrait comprendre au minimum la surface d'échange avec l'extérieur.

On ne peut pas calculer la température mais le rapport des puissances donne le rapport des températures.

[Oleg]

On ne peut pas calculer la température mais le rapport des puissances donne le rapport des températures.

Exactement. On a en entrée un rapport de puissances alors on peut calculer le rapport des températures.
La surface et la résistance étant constantes, elles disparaissent de la relation.

Détaillons :
- Puissance de l'ampoule à tension nominale, température donnée pour 3000 K :
P1 = S * sigma * T1^4
P1 = U^2/R
avec :
   T1 = 3000
   sigma = constante de Boltzmann
   S = surface du filament

- Puissance de l'ampoule alimentée à 70 % de la tension initiale :
P2 = S * sigma * T2^4
P2 = (0,70 * U)^2 / R

Alors :
P2/P1 = 0,70 ^2 = 0,49

mais aussi :
P2/P1 = T2^4 / T1^4

Comme T1 = 3000, T2 vaut :
T2 = (0,49 * 3000^4)^(1/4) = 2509,98 K

On arrondit = 2510 K

[jenga]

En fait j'ai du mal à voir comment la température pourrait ne dépendre que de la puissance, pour moi la formule devrait comprendre au minimum la surface d'échange avec l'extérieur.

Exactement. C'est le flux surfacique (W/m2) qui est proportionnel à T**4.