Bonsoir
OK Seba les schémas sont clairs. Les valeurs "théoriques" sont : focale = 38 mm, angle de rotation = 60°, rapport des cotés = 2,50.
J'explique pourquoi l'étude de cette photo m'a rendu perplexe sur le coup.
Dans mon post du 15 février je donnais une démonstration et concluais : "Pour pouvoir attribuer la bonne valeur à f, il faut connaître à priori les proportions de l'objet".
Affirmation qui commençait à être mise à mal avec la photo des 2 rectangles inconnus identiques (7 mars), mais là c'est pire.
Je partais du fait que ce que l'on voit dans la photo est proportionnel à f/z (z représente la profondeur dans l'espace objet comptée à partir de l'objectif et f la distance focale de l'objectif) donc si on change z en effectuant une affinité, l'image ne sera pas modifiée si on change f dans la même proportion.
Petite remarque, l'affinité est une opération mathématique qui modifie la taille de l'objet, proportionnellement à sa distance à un plan de référence : par exemple on peut considérer que les voitures blanches qui mesurent 10 m de long et que certains louent à l'occasion de mariages correspondent à la transformation par affinité longitudinale d'une voiture blanche usuelle (je parle de l'aspect général, pas du nombre de portes ou de sièges). A contrario l'homothétie consiste à changer la taille proportionnellement à la distance à un point, ce qui change toutes les dimensions : par exemple le passage d'une voiture usuelle à une voiture en modèle réduit.
Mon erreur provient du fait que je raisonnais sur un cas trop particulier.
Ma démonstration reste valable, mais c'est son interprétation que je reprends.
L'ambiguïté sur f provient du fait que si on change l'échelle de z, f doit changer aussi pour que l'image reste la même (ambiguïté veut dire qu'il y a plusieurs solutions possibles, ici une infinité).
Pour éliminer cette ambiguïté il faut se placer dans des cas où le changement d'échelle de z est bloqué.
1er exemple : si l'objet un carré dans un plan horizontal, on ne peut pas changer l'échelle en z sinon il se transforme en un non carré, donc pas d'ambiguïté sur f.
2ème exemple : si l'objet est un rectangle horizontal dont les côtés sont parallèles à ceux de la photo et dont on ne connait pas le rapport, changer l'échelle en z est autorisé, donc il y a ambiguïté sur f, par contre si on connait le rapport des côtés de l'objet cela impose de ne pas modifier z sinon ce rapport changerait, pas d'ambiguïté (6 mars).
3ème exemple : si l'objet est constitué de 2 rectangles identiques à 90° l'un de l'autre dans un plan horizontal (7 mars), changer z aura un effet différent sur les 2, l'un tendra à devenir plus carré et l'autre s'en écartera au contraire...
4ème exemple : si l'objet est un rectangle dont on ne connait pas le rapport et qui est tourné d'un angle quelconque dans son plan horizontal (14 mars), changer z aura pour effet de modifier dans l'espace objet tous ses angles, ce ne sera plus un rectangle, donc pas ambiguïté sur f. Cependant, ce raisonnement avec le rectangle ne marche pas si l'angle vaut 0° ou 90°, ce qui explique l'erreur que j'avais faite le 15 février.
Saisir que le changement d'échelle en z est ici un raisonnement purement mathématique, il permet de savoir s'il sera impossible de trouver f. En fait l'objet reste tel qu'il est. C'est comme lorsque, faisant des mots croisés, on tente dans une case toutes les lettres de l'alphabet afin de trouver, peut-être, le mot qui convient, cette recherche ne change pas le mot.
En conclusion, pour savoir si on pourra trouver f sans ambiguïté, on cherche dans la photo un objet dont on connait à priori certaines propriétés, par exemple un rectangle de rapport inconnu orienté parallèlement aux côtés de la photo.
On se pose la question : est-ce que changer l'échelle en z va modifier ce que l'on connait à priori de l'objet, la réponse est non, donc z peut être modifié sans changer la nature de l'image, donc il y a ambiguïté sur f.
On a vu qu'au contraire si on connait le rapport du rectangle on peut trouver f, ce qui est conforme à la règle.
Enfin si on prend un objet au hasard, il n'a aucune propriété connue il y a donc toujours ambiguïté.
Pas d'ambiguïté sur f veut dire que s'il y a une solution elle est unique, mais ne garantit pas qu'on peut la trouver en analysant la photo.
Fort de cette approche, j'ai étudié à nouveau la photo de la cathédrale proposée au début de ce fil. J'ai décidé de ne pas utiliser le "carré" du transept qui pose surtout le problème de l'épaisseur inconnue des piliers. J'ai eu du mal mais j'ai fini par trouver une faille : le point de fuite des horizontales est très légèrement en dessous du centre de la photo, ceci veut dire que l'appareil avait une petite inclinaison d'angle a vers le haut donc tous les objets sont vus comme descendant légèrement lorsqu'on s'éloigne de l'objectif. Le décalage horizontal entre les 2 points est nettement plus faible, on va admettre qu'il est négligeable. Restait à trouver un objet qui change de nature quand on change l'échelle en z (dirigée suivant l'axe de l'objectif). Je n'ai pas trouvé de rectangle oblique (comme dans le 4ème exemple) donc je cherche un rectangle qui soit droit dans l'espace de la cathédrale et donc légèrement incliné dans la direction z de l'objectif.
Un rectangle perpendiculaire à la nef, par exemple constitué de 2 piliers qui se font face à travers elle, va apparaitre pour l'objectif comme penché vers l'avant, mais une modification de z va lui conserver ses angles droits (un peu comme dans la fin du 4ème exemple), et comme on ne connait pas son rapport il ne convient pas. De même pour un rectangle dans un plan horizontal de la nef.
Reste un rectangle vertical constitué par 2 piliers successifs, pour l'objectif il apparait comme ayant légèrement tourné vers l'avant dans son plan, et modifier z aura pour effet de rendre ses angles différents de 90°. C'est comme dans le 4ème exemple, la seule différence étant que l'affaire se produit dans un plan vertical au lieu d'un plan horizontal, ce qui ne change rien sauf que le décalage des points de fuite se fait vers le haut ou vers le bas.
Il existe d'autres choix possibles, mais je pense que celui-ci est le plus simple.
Le cas présent est limite car l'angle a est très faible (moins de 1°) mais à ma surprise le résultat trouvé est acceptable.
Ce post étant déjà chargé je donne des explications rapides. Sur la photo de la cathédrale je dessine en jaune les repères du centre C de l'image, en vert le point de fuite F des horizontales dans l'axe de la nef (un peu délicat car il y a une légère courbure, distorsion de l'objectif ou irrégularité du bâtiment ? je favorise les zones proches du centre de l'image), en rouge les verticales associées à 2 piliers qui se font face à travers la nef (la mesure de leur écartement est plus précise que si je prends 2 piliers successifs du même côté et comme ils sont parallèles dans l'espace objet ils ont même point de fuite).
Je mesure CF = 14,5 pixels, cette distance entre 2 points de fuite est égale à f*tan(a).
Je constate que les 2 traits "verticaux" ne sont pas tout à fait parallèles, il se rapprochent légèrement en montant, ce qui est conforme à une visée un peu plus haute que l'horizontale, j'ai trouvé que la variation de l'écart entre les 2 sur l'ensemble de la hauteur de la photo (485 pixels) est de 6 pixels, et que l'écart vaut 614 pixels au niveau du point C, j'en déduis par une règle de 3 la distance entre le point C et l'intersection F' des "verticales" de piliers : CF' = (614/6)*485 = 49600 pixels, c'est égal à f/tan(a). On voit que F' est très au-dessus du point C.
En résolvant f*tan(a) = 14,5 et f/tan(a) = 49600 j'obtiens f = 848 pixels * 36 mm/ 728 pixels = 42 mm. C'est probablement un peu trop, la photo est trop bien prise, l'angle d'inclinaison est trop faible pour une mesure précise. C'est la démarche qui m'a semblé intéressante.
Des questions ?
Bon, je lève les yeux et vois que tout le monde dort...
Bonne nuit !
